Предисловие

Значительная часть этого текста изначально не предназначалась для публикации в интернете. Поэтому написана довольно сухим языком. И рисунки были чёрно-белые, что не очень наглядно. Текст я немного доработал. К сожалению, большинство исходников рисунков утеряны, а заново их рисовать я не стал. Принимайте статью такой, как она есть.

Все графики «с цифрами», приведённые в статье, являются реальными. Так они и выглядят на самом деле.

Понятие фильтра

Фильтр – устройство, оказывающее разное воздействие на прохождение через него сигналов различных частот. В подавляющем большинстве случаев требуется пропускать одни частоты и не пропускать другие. Такие фильтры называются частотными.

Существуют и другие фильтры:

• фазовые – они не изменяют амплитуду сигнала, но вносят в сигнал фазовый сдвиг, пропорциональный частоте;
• амплитудные (амплитудный дискриминатор) – они пропускают или не пропускают сигналы определённой амплитуды независимо от частоты сигнала.

Мы будем говорить о частотных фильтрах, которые пропускают сигналы одних частот и не пропускают (подавляют) сигналы других частот. Главным свойством частотного фильтра является его амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – зависимость коэффициента передачи фильтра от частоты. На АЧХ фильтра можно выделить две области:

• Полоса пропускания – диапазон частот, пропускаемых фильтром.
• Полоса подавления (заграждения) – диапазон частот, НЕ пропускаемых фильтром.

Границей между полосой пропускания и полосой подавления является частота среза fср.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) идеального фильтра показана на рис. 1. Такой АЧХ в природе не существует, она возможна лишь при использовании для построения фильтра бесконечного количества идеальных элементов. По вертикальной оси откладывается коэффициент передачи фильтра:

Коэффициент передачи – это отношение величины выходного сигнала к величине входного сигнала. В усилителях это отношение называется коэффициентом усиления. Но фильтры, как и ряд других устройств не усиливают сигнал. И вообще не предназначены для усиления – у них совершенно другие функции. Поэтому для устройств не являющихся усилителями, отношения выходной величины к входной (они могут быть и не напряжениями, это вообще могут быть совершенно разные физические величины) называется коэффициентом передачи.

Исходя из определения фильтра, в полосе пропускания фильтр должен пропустить сигнал без каких-либо изменений. Следовательно, в полосе пропускания амплитуда сигнала на выходе фильтра равна амплитуде на входе фильтра. Это соответствует значению коэффициента передачи, равному 1, если считать в «разах», или значению 0 децибел. В принципе фильтр может дополнительно усиливать сигнал. Но это уже другая функция – усиление – не связанная с избирательными свойствами фильтра. Поэтому не будем смешивать эти функции и рассмотрим фильтры без функции усиления сигнала.

Пример реально достижимой АЧХ показан на рис. 2.

Полоса пропускания фильтра залита зелёным цветом, полоса подавления – красным. Границей этих частотных полос является частота среза.

В большинстве случаев на частоте среза амплитуда сигнала (и коэффициент передачи фильтра) уменьшаются на 3 дБ (в  раз).

Именно таким способом – по уменьшению коэффициента передачи, можно найти частоту среза фильтра по его АЧХ.

Обратите внимание на тонкую красную линию на рис. 2. На частотах намного выше частоты среза и намного ниже её график АЧХ фильтра превращается в прямые линии. Если эти линии продолжить, то они пересекутся при значении частоты, равной частоте среза. Поэтому очень удобно изображать АЧХ в виде ломаной линии: и рисовать проще, и выглядит нагляднее. Такую АЧХ называют аппроксимированной. Надо добавить, что АЧХ может так выглядеть только если она построена в двойных логарифмических осях: логарифм частоты по горизонтали и логарифм амплитуды (децибелы) по вертикали.

Переход от реальной АЧХ к аппроксимированной показан на рис. 3.

На частоте среза наблюдается излом аппроксимированной АЧХ, при этом на реальной АЧХ коэффициент передачи уменьшается на 3 дБ (в  раз). Как видно из рис. 3, различия между реальной и аппроксимированной АЧХ невелики, поэтому проще пользоваться аппроксимированной амплитудно-частотной характеристикой.

Реальный фильтр в принципе не может полностью подавить нежелательные частоты, он может лишь ослабить их в определённое число раз.

Классификация фильтров

1. По полосе пропускания

В зависимости от того, какие частоты фильтры пропускают, фильтры бывают следующих типов:

Тип фильтра	Полоса пропускания	АЧХ
Фильтр верхних частот (ФВЧ, HP)	fсреза … ∞
Фильтр нижних частот (ФНЧ, LP)	0 … fсреза
Полосовой (пропускающий)	f1среза … f2среза
Полосовой заграждающий	1. 0 … f1среза, 2. f2среза … ∞
Узкополосный (пропускающий)	f1среза ≈ f2среза = fо
Узкополосный заграждающий [режекторный]	f1среза ≈ f2среза = fо

Узкополосные фильтры в идеале обрабатывают только одну частоту. На самом деле они обрабатывают некоторый диапазон частот, но этот диапазон узкий: f2среза — f1среза << fо.

Обратите внимание, что в электротехнике и электронике название фильтра образуется от того диапазона частот, которые фильтр пропускает. В других областях человеческой деятельности, например в музыкальных и звуковых системах, название фильтра указывает на ту полосу частот, которую фильтр подавляет.

Важно. В названии фильтров используются понятия «низкие частоты» и «высокие частоты». Эти понятия условные. Низкими частотами являются те частоты, которые лежат ниже частоты среза фильтра, высокие частоты – это частоты выше частоты среза фильтра. Вне зависимости от того, сколько это в герцах.

2. По виду сигнала

В зависимости от вида сигнала, с которым работает фильтр:

• аналоговый (фильтр работает с аналоговыми сигналами непрерывного времени);
• цифровой (фильтр работает с цифровыми сигналами – последовательностями оцифрованных отсчетов).

3. По типу элементов фильтра

Для аналоговых сигналов в зависимости от элементов, составляющих фильтр:

• пассивный – не содержит усилителей и источников питания (содержит только пассивные элементы);
• активный — содержит усилители с источниками питания (содержит как пассивные, так и активные элементы).

4. По порядку дифференциального уравнения, описывающего фильтр

В зависимости от порядка дифференциального уравнения, описывающего фильтр:

• 1-го порядка;
• 2-го порядка;
• 3-го порядка;

и т.д.

5. По типу передаточной характеристики

В зависимости от типа передаточной характеристики (от разновидности математической формулы, описывающего фильтр):

• Бесселя;
• Баттерворта;
• Чебышева;
• Кауэра (эллиптический);
• Линквица-Райли.

Параметры и свойства фильтров

Главное, что требуется от фильтра – пропустить сигналы нужных частот и не пропустить те сигналы, частоты которых попадают в полосу заграждения. Поэтому основными параметрами фильтра являются:

• тип фильтра;
• частота среза.

Следующие два параметра также являются важными:

• порядок фильтра определяет скорость (крутизну) спада АЧХ в полосе заграждения, то есть то, насколько эффективно подавляются «вражеские» частоты;
• тип передаточной характеристики определяет поведение АЧХ в переходной области вблизи от частоты среза, а также то, насколько резким будет переход от полосы пропускания к полосе заграждения.

Свойства фильтра определяются его конструкцией и кратко таковы.

Аналоговые фильтры

Аналоговые фильтры – это специальные электрические схемы, которые могут быть пассивными и активными.

Пассивные фильтры не содержат усилительных элементов и источников питания. Такие фильтры строятся на резисторах, конденсаторах и катушках индуктивности. В настоящее время LC фильтры, содержащие катушки индуктивности и конденсаторы, применяются:

— на высоких частотах, где нужна небольшая индуктивность (единицы – сотни микрогенри), такие катушки получаются небольшими и дешёвыми;

— при больших токах (десятки ампер и выше), там катушки намного более эффективны чем конденсаторы.

В остальных случаях в электронике практически всегда используются RC фильтры (они состоят из резисторов и конденсаторов).

Достоинства пассивных фильтров:

• могут работать на очень высоких частотах, так как нет принципиального ограничения на максимальную рабочую частоту;
• могут работать с токами и напряжениями любой величины;
• способны пропускать сигналы большой мощности.

Недостатки пассивных фильтров:

• масса, габариты, стоимость обычно выше, чем у активных фильтров;
• RC фильтры могут вносить затухание в сигнал даже в полосе прозрачности;
• RC фильтры не могу пропускать сигналы большой мощности;
• в LC фильтрах катушки индуктивности дороги, громоздки, создают помехи (магнитное поле);
• если в LC фильтрах используются катушки с магнитными сердечниками, то ток через такие катушки ограничен, их индуктивность зависит от величины тока, температуры, внешних магнитных полей, частоты сигнала – всё это изменяет свойства фильтра и ухудшает его работу;
• разброс параметров элементов ухудшает точность фильтров, особенно это относится к точности и стабильности катушек индуктивности;
• разброс параметров элементов не позволяет строить сложные фильтры, в которых необходимо точное согласование параметров элементов;
• RC фильтры имеют низкий порядок;
• RC фильтры не могут иметь резкий переход от полосы пропускания к полосе заграждения;
• Требуют чёткого согласования с сопротивлениями источника сигнала и нагрузки (точное согласование не всегда возможно);
• могут только ослаблять сигнал.

Активные фильтры содержат усилительные элементы и источники питания. Такие фильтры из реактивных (фильтрующих) элементов содержат только конденсаторы, катушки индуктивности не используются вовсе.

Достоинства активных фильтров:

• масса, габариты, стоимость ниже, чем у пассивных фильтров;
• могут быть реализованы в микросхеме;
• простота согласования с источником сигнала и нагрузкой;
• возможность реализации сложных фильтров с хорошими характеристиками;
• могут иметь высокий порядок;
• могут иметь резкий переход от полосы пропускания к полосе заграждения (в результате настройки более точной, чем у пассивных фильтров);
• могут усиливать сигнал.

Недостатки активных фильтров:

• максимальная амплитуда сигналов ограничена возможностями усилительных элементов, применяемых в фильтре;
• максимальная рабочая частота ниже, чем у пассивных фильтров и ограничена частотными свойствами усилительных элементов, применяемых в фильтре (в настоящее время активные фильтры работают на частотах до гигагерц, так что это ограничения не принципиально);
• точность получения требуемой АЧХ, зависящая от разброса параметров элементов фильтра, выше, чем у пассивных фильтров, но ниже, чем у цифровых.

Цифровые фильтры

Цифровые фильтры – это специальные компьютерные программы, обрабатывающие поток чисел, являющихся отсчетами (измерениями) напряжения в определенные моменты времени – оцифрованные сигналы. Для их работы требуются компьютеры или микропроцессорные системы.

Достоинства цифровых фильтров:

• могут работать с сигналами сколь угодно низкой частоты – тысячные и миллионные доли герца;
• могут иметь любую разумную сложность;
• имеют самую высокую точность, которая мало зависит от сложности фильтра;
• имеют идеальную стабильность, их свойства абсолютно не зависят от внешних условий;
• могут иметь свойства, которые невозможно получить аналоговыми способами, например фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ, FIR) изменяют амплитуду, не изменяя фазы сигнала;
• могут обрабатывать записанные сигналы в произвольном масштабе времени (например, аудиозапись длительностью 3 минуты обрабатывается за 15 секунд).

Недостатки цифровых фильтров.

• низкий диапазон рабочих частот (обычно сотни килогерц), выше некоторой конструктивно заданной частоты (половина частоты дискретизации аналогово-цифрового преобразователя) фильтры в принципе не работают;
• при перегрузке напряжением выше максимально допустимого получаются абсолютно неверные результаты;
• сложные фильтры требуют большой вычислительной мощности, поэтому на недостаточно мощной вычислительной системе могут не успевать работать в реальном времени.
• Так как фильтры работают не с реальными сигналами, а с их числовыми значениями, то величины напряжений и токов, которые эти фильтры могут отдавать в нагрузку, определяются внешними электронными схемами. Поэтому обычно выходные напряжения и токи таких фильтров маленькие.
• Входные и выходные сигналы с частотами, лежащими вне диапазона возможностей цифрового фильтра, обязательно должны отфильтровываться аналоговыми фильтрами.

Скорость спада АЧХ фильтра, порядок фильтра

Фильтра, имеющего АЧХ как на рис. 1, то есть совсем не пропускающего сигнала в полосе затухания, не существует в принципе. Все фильтры в полосе затухания сигнал пропускают, но при этом ослабляют его.

Фильтр пропускает сигнал и в полосе пропускания, и в полосе заграждения. Но в полосе заграждения фильтр ослабляет сигнал в какое-то число раз. Чем это ослабление больше – тем фильтр лучше.

Ослабление сигнала тем больше, чем дальше его частота находится от частоты среза фильтра, рис. 4. Напоминаю, что коэффициент передачи, равный -20 дБ означает ослабление сигнала в 10 раз. Коэффициент передачи, равный -40 дБ означает ослабление сигнала в 100 раз.

Все четыре фильтра, АЧХ которых показаны на рис. 4, имеют одинаковую частоту среза 100 герц. Но степень подавления «нежелательных» частот в полосе затухания у этих фильтров различная.

Фильтр номер 1 ослабляет частоту 1000 Гц всего лишь на 20 дБ, то есть в десять раз. Можно считать, что качество фильтрации такого фильтра невелико, так как частоту, которая лежит далеко в полосе затухания (она в десять раз выше частоты среза), фильтр ослабляет незначительно.

Напротив, фильтр номер 4 частоту уже в 300 Гц ослабляет примерно на 40 дБ, то есть почти в 100 раз (частоту 1000 Гц этот фильтр ослабляет в 10 тысяч раз). Качество фильтрации такого фильтра гораздо выше – он эффективно ослабляет частоты даже немного отличающиеся от частоты среза.

Все фильтры, показанные на рис. 4 различаются между собой величиной порядка.

Порядок фильтра

Порядок фильтра – это порядок дифференциального уравнения, описывающего электрическую схему фильтра.

Обычно порядок фильтра численно равен количеству реактивных элементов, входящих в фильтр. Чем выше порядок фильтра, тем лучше он ослабляет частоты в полосе затухания. На рис. 4 номер графика соответствует величине порядка каждого из фильтров.

Величина порядка фильтра задает скорость спада АЧХ фильтра в полосе затухания. Чем она выше, тем лучше фильтрующие свойства фильтра. Скорость спада АЧХ имеет две единицы измерения:

• децибелы на октаву (дБ/окт);
• децибелы на декаду (дБ/дек).

Октава – изменение частоты в два раза. Декада – изменение частоты в десять раз. Скорость спада АЧХ показывает, на сколько децибел изменится коэффициент передачи фильтра в полосе затухания, если частота изменится либо на октаву, либо на декаду.

Скорость спада АЧХ и порядок фильтра связаны между собой:

Порядок фильтра	Скорость спада АЧХ фильтра
	дБ/окт	дБ/дек
1	6	20
2	12	40
3	18	60
4	24	80
N	6∙N	20∙N

Обратите внимание. В полосе затухания фильтры имеют следующие свойства:

Если частота сигнала изменилась во сколько-то раз, то коэффициент передачи изменился во столько же раз но в степени, равной порядку фильтра:

Например:

Фильтр 1-го порядка. Частота изменилась в 2 раза (на октаву) -> коэффициент передачи изменился в 2¹ =2 раза (6 дБ).

Фильтр 2-го порядка. Частота изменилась в 2 раза (на октаву) -> коэффициент передачи изменился в 2² = 4 раза (12 дБ).

Фильтр 3-го порядка. Частота изменилась в 2 раза (на октаву) -> коэффициент передачи изменился в 2³ = 8 раз (18 дБ).

Фильтр 4-го порядка. Частота изменилась в 2 раза (на октаву) -> коэффициент передачи изменился в 2⁴ = 16 раз (24 дБ).

Измерение скорости спада АЧХ для определения порядка фильтра показано на рис. 5. Для измерения скорости спада на АЧХ в области затухания выбираются две точки так, чтобы их частоты различались на декаду (в 10 раз). Расстояние между этими точками по оси ординат и будет скоростью (крутизной) спада АЧХ.

Определение скорости спада АЧХ 1 на рис. 5 а). Выбираем две точки в области затухания А и Б так, чтобы их частоты различались на декаду (в 10 раз). Выбранные частоты 100 и 1000 Гц. Расстояние между этими точками по оси ординат ΔК = К(А) – К(Б) = (-20) – (-40) = 20 дБ. Итого скорость спада АЧХ 1 равна 20 дБ/дек, что соответствует фильтру первого порядка.

Определение скорости спада АЧХ 2 на рис. 5 а). Выбираем две точки в области затухания В и Г так, чтобы их частоты различались на декаду (в 10 раз). Выбранные частоты 30 и 300 Гц. Расстояние между этими точками по оси ординат ΔК = К(В) – К(Г) = (-20) – (-60) = 20 дБ. Итого скорость спада АЧХ 2 равна 40 дБ/дек, что соответствует фильтру второго порядка.

Если задана не аппроксимированная АЧХ, а реальная, то точки для определения скорости спада надо выбирать глубже в полосе затухания, там, где реальная и аппроксимированная АЧХ сливаются, рис. 5 б).

Обратите внимание, что в окрестности частоты среза fср фильтр еще «не работает полноценно», поэтому скорость спада АЧХ в этой области меньше той, которая соответствует порядку фильтра.

Если необходимо измерить скорость спада в децибелах на октаву, то точки, в которых производится измерение, выбираются так, чтобы их частоты различались на октаву, то есть в два раза.

Влияние типа передаточной характеристики фильтра на его АЧХ

Тип передаточной характеристики определяет поведение АЧХ фильтра вблизи частоты среза. От него зависит, будет ли переход от полосы пропускания к полосе затухания резким или плавным. Также тип передаточной характеристики определяет его фазочастотную характеристику (т.е. искажения формы сигнала в полосе пропускания) и вид переходного процесса в фильтре.

Комплексная передаточная функция фильтра:

где:    n – порядок фильтра,

          ω = 2∙π∙f – круговая частота сигнала,

         – мнимая единица.

Если передаточную функцию представить в показательной форме изображения комплексных чисел, то она примет вид:

Тогда модуль комплексной передаточной функции |К(ω)| – это амплитудно-частотная характеристика фильтра (АЧХ), а аргумент комплексной передаточной функции  – фазочастотная характеристика фильтра (ФЧХ).

У всех аналоговых частотных фильтров АЧХ и ФЧХ связаны между собой.

Для фильтров 1-го порядка передаточная функция выглядит всегда одинаково, так как практически все коэффициенты равны нулю:

Поэтому тип передаточной характеристики фильтров первого порядка всегда одинаков.

Начиная со 2-го порядка фильтра знаменатели передаточной функции могут различаться между собой значениями коэффициентов, например (коэффициенты в знаменателях формул – выдуманные):

В знаменателе формулы могут стоять различные коэффициенты, и в зависимости от этих коэффициентов АЧХ и ФЧХ фильтров второго и более порядка могут различаться между собой.

Различие в АЧХ таких фильтров проявляется в окрестностях частоты среза. Глубоко в полосе пропускания и глубоко в полосе подавления АЧХ этих фильтров совпадают.

Применение находят фильтры (они обладают наиболее яркими собственными свойствами), имеющие передаточную характеристику определенного типа, когда ее знаменатель является известным из математики полиномом.

В зависимости от типа передаточной характеристики (от разновидности полинома в знаменателе комплексной передаточной функции), наиболее распространены:

1. фильтр Бесселя (Томпсона);
2. фильтр Баттерворта;
3. фильтр Чебышева;
4. фильтр Кауэра (эллиптический фильтр).

АЧХ фильтров 6-го порядка этих типов приведены на рис. 6.

На рисунке 7 показаны эти же АЧХ, но в растянутом масштабе. Хорошо видно, что фильтры с различными типами передаточной характеристики могут иметь как более резкий переход от полосы пропускания к полосе заграждения (более похожий на рис. 1), так и менее резкий; как линейную АЧХ в полосе пропускания, так и неравномерную.

На рис. 8 показаны ФЧХ этих фильтров. Частота среза фильтров равна 1000 Гц, и левая половина графиков является полосой пропускания. Тем не менее, в ней происходит значительный фазовый сдвиг сигнала.

Влияние ФЧХ фильтра

Влияние ФЧХ фильтра оценивается так: чем больше сдвиг фаз в полосе пропускания, тем сильнее искажается форма сигнала в этой полосе. То есть искажается сигнал, который должен пройти через фильтр без изменения.

Пример подобной ситуации показан на рис. 9.

Через фильтр проходит сигнал, состоящий из двух частот. Частоты, составляющие сигнал, красного и зелёного цвета, суммарное результирующее напряжение чёрного цвета. Обе эти частоты находятся в полосе пропускания, и их амплитуды не изменяются. Но вследствие сдвига фаз, вносимого фильтром, изменилась фаза более высокочастотного сигнала. В результате форма суммарного сигнала также изменилась. В тех случаях, когда информацию несёт именно форма сигнала (например, изображение электрокардиограммы), подобное недопустимо.

На рис. 10 показаны переходные процессы (реакция на ступенчатое воздействие) рассматриваемых фильтров. В идеале зависимость напряжения от времени на выходе фильтра должна совпадать с таковой на его входе.

Переходный процесс оценивается так: переходный процесс самый лучший, если форма выходного напряжения повторяет форму входного. Чем в большей степени переходный процесс колебательный, тем он хуже – он более затянутый и в нем возникают паразитные колебания и перенапряжения.

Перенапряжения опасны тем, что они могут вызвать сбой в работе устройств, подключённых к выходу фильтра. Например, аналоговый фильтр включён на входе АЦП с целью подавить частоты, лежащие выше допустимой. Перенапряжение на выходе фильтра приведёт к переполнению и перегрузке АЦП и к появлению на его выходе абсолютно неверных результатов.

Рассмотрим основные свойства наиболее распространённых фильтров.

Фильтр Бесселя

Фильтр Бесселя (Томпсона). Самый плавный переход от полосы пропускания к полосе подавления. Затухание сигнала начинается еще в полосе пропускания, то есть уменьшается амплитуда сигнала, который должен проходить через фильтр. Зато у него самая лучшая фазовая характеристика. Переходный процесс близок к идеальному. Применяется там, где необходимо минимальное искажение формы пропускаемого сигнала, а качество подавления мешающего сигнала (лежащего в полосе подавления) не так важно.

Фильтр Баттерворта

Фильтр Баттерворта. Самый плоская АЧХ в полосе пропускания. Амплитуда сигнала, лежащего в полосе пропускания изменяется минимально. Фазовая характеристика хуже, чем у фильтра Бесселя, но лучше, чем у других типов фильтров. Переходный процесс колебательный, но быстро затухает. Применяется там, где необходимо максимально точно передать амплитуды всех частот, составляющих полезный сигнал (в полосе пропускания), и при этом заметно подавить мешающий сигнал, лежащий в полосе подавления.

Фильтр Чебышева

Фильтр Чебышева. На самом деле фамилия русского математика, лежащая в названии фильтра – Чебышёв. Но в годы Советской власти буква «Ё, ё» использовалась только в детской в печатной литературе. Во всех «взрослых» книгах эта фамилия писалась через «е», и к этому привыкли.

Фильтр Чебышева имеет очень резкий переход от полосы пропускания к полосе подавления. В месте излома АЧХ наиболее приближена к идеальной. Расплатой за это является неравномерность АЧХ в полосе пропускания. Эта неравномерность тем больше, чем более резкий излом АЧХ мы получаем. Количество волн АЧХ в полосе пропускания равно порядку фильтра. Величина этих волн (пульсаций) – управляема, выбирается при разработке фильтра и указывается в децибелах при описании фильтра. Чем больше величина волн, тем переход от полосы пропускания к полосе подавления является более резким.

Фазовая характеристика отвратительная. Переходный процесс самый плохой – колебания имеет большую амплитуду и долго не затухают. Таким образом, за резкий излом АЧХ возле частоты среза расплачиваемся сильными искажениями формы сигнала и изменением амплитуд частот, составляющих полезный сигнал. Применяется там, где главное – максимально обрезать мешающие частоты, даже в ущерб точности передачи полезного сигнала.

Существует инверсный фильтр Чебышева (фильтр Чебышева II рода). В нём в полосе пропускания АЧХ линейна, а вот в полосе затухания АЧХ напоминает АЧХ фильтра Кауэра (кривая 4 на рис. 6). Этот тип фильтра используется редко, т.к. проигрывает по совокупности параметров фильтрам других типов.

Фильтр Кауэра

Фильтр Кауэра (эллиптический). Самый резкий переход от полосы пропускания к полосе подавления, но мешающий сигнал не затухает до бесконечности, как в фильтрах других типов. Сигнал в полосе затухания ослабляется на определенную величину и больше не затухает. Неравномерность АЧХ в полосе пропускания, ФЧХ и переходный процесс чуть лучше, чем у фильтра Чебышева. Применяется когда главная задача – максимально подавить мешающие частоты, лежащие очень близко к частоте среза. Поскольку общее подавление мешающего сигнала конечно и невелико, то это фильтр применяется в комбинации с фильтром другого типа, обычно фильтром Баттерворта, дополнительно подавляющий частоты, лежащие далеко в полосе подавления, которые фильтр Кауэра подавить не способен.

Пример такого совместного использования фильтров показан на рис. 11. Фильтр Кауэра цифровой, встроен в аудио ЦАП и формирует резкий переход от полосы пропускания к полосе затухания. На выходе ЦАП включён аналоговый фильтр, который значительно подавляет сигнал на частотах, лежащих далеко от частоты среза. По оси абсцисс цифрового фильтра частота указана не в герцах, а в долях частоты дискретизации ЦАП.

Фильтр Линквица-Райли

Фильтр Линквица-Райли (Linkwitz-Riley). Это специальный тип фильтра, применяемый главным образом в аудиотехнике. По отдельности в качестве ФНЧ либо ФВЧ этот тип фильтра не используется, так как у него очень плавный переход от полосы пропускания к полосе заграждения (самый плавный из всех типов фильтров). Фильтры работают парами. Пара таких фильтров – один ФВЧ, а другой ФНЧ с одинаковыми частотами среза, образуют устройство, называемое «кроссовер».

Задача кроссовера – разделить сигнал на две частотные полосы: низкие частоты и высокие частоты. Каждая из полос передаётся по своему каналу связи, а затем сигналы полос складываются, образуя полноценный исходный сигнал без каких-либо изменений. То есть задача этого фильтра не уничтожить мешающие частоты, а аккуратно разделить сигнал для последующего объединения. В аудиотехнике сигналы низких и высоких частот, разделённые кроссовером, воспроизводится каждый своим громкоговорителем, образуя полноценный звуковой сигнал.

Особенность фильтра – после суммирования сигналов обеих полос суммарная АЧХ является линейной. Но ФЧХ суммарного сигнала изменяется, поэтому суммарный сигнал выглядит так, как будто его пропустили через фазовый фильтр. Поэтому иногда фильтр Линквица-Райли ошибочно называют фазовым фильтром.

Основы реализации фильтров

В схемах фильтров обязательно используются реактивные элементы – конденсаторы и катушки индуктивности, так как их сопротивление зависит от частоты. Именно эти элементы и образуют фильтр. Количество реактивных элементов, участвующих в обработке сигнала, определяет порядок фильтра: порядок фильтра равен количеству реактивных элементов, образующих фильтр.

RC-фильтры

RC-фильтр первого порядка показан на рис. 12. В нём всего один частотнозависимый элемент, поэтому во сколько раз изменяется частота сигнала, во столько же раз изменяется его амплитуда.

Частота среза фильтра определяется из условия: Хс=R – реактивное сопротивление конденсатора равно сопротивлению резистора (это условие характерно для любой RC цепи любого вида: и параллельной, и последовательной).

Условие согласования с источником и нагрузкой: Rисточника=0 (<<R), Rнагрузки=∞ (>>R). Если условие не выполняется, то необходимо рассчитать эквивалентное значение сопротивления R с учётом сопротивлений источника сигнала и нагрузки, и из него определить частоту среза.

АЧХ фильтров первого порядка показана на рис. 13. На частоте среза завл АЧХ равен 3 дБ. Оба фильтра симметричны, поэтому сумма их АЧХ является прямой линией.

Аналогичная АЧХ фильтра 1-го порядка показана на рис. 2. Из него видно, что реальная и аппроксимированная АЧХ различаются в диапазоне частот от fc/3 до 3∙fc. На более низких и высоких частотах АЧХ совпадают и реальная АЧХ может быть заменена аппроксимированной.

Фазочастотная характеристика фильтра 1-го порядка показана на рис. 14. На частоте среза фазовый сдвиг составляет 45 градусов, а дальше в полосе подавления он растёт до 90 градусов.

По аналогии с амплитудно-частотной характеристикой, фазочастотная характеристика также может быть аппроксимирована. Но частотный диапазон в котором изменяется фазы шире: фаза изменяется в полосе частот от fc/10 до 10∙fc. То есть, в полосе пропускания фильтр начинает вносить фазовые искажения начина с частоты, отличающейся от частоты среза в десять раз (а не в три раза, как с амплитудными искажениями).

Фильтр второго порядка можно получить каскадным включением двух фильтров первого порядка, имеющих одинаковую частоту среза, рис. 15. Теперь у сигнала мешающих частот в полосе подавления появилось два препятствия и сигнал ослабляется дважды: сначала конденсатором С1, а затем конденсатором С2. И изменение амплитуды сигнала пропорционально второй степени изменения частоты. Допустим частота увеличилась в 3 раза. Тогда напряжение на конденсаторе С1 уменьшилось в 3 раза, и напряжение на конденсаторе С2 также уменьшилось в 3 раза. Итого общее уменьшение амплитуды равно 3²=9. Отсюда и получается спад АЧХ 12 дБ/окт или 40 дБ/дек.

При этом не следует забывать о согласовании фильтров между собой: первое звено фильтра является источником для второго звена, а второе звено является нагрузкой для первого звена. Десятикратное изменение сопротивления и ёмкости – это минимум. Для максимального согласования желательно, чтобы R2 было больше, чем R1 в 50…150 раз. Тогда звенья не влияют друг на друга и можно каждое из них рассчитывать независимо. Иначе необходимо учитывать взаимное влияние звеньев фильтра друг на друга.

На рис. 16 показаны амплитудно-частотные характеристики этого фильтра в сравнении с АЧХ фильтра 1-го порядка. АЧХ строились при условии максимального согласования: R2=1000∙R1, C2=C1/1000.

Если соединить последовательно два фильтра с частотой среза, равной fc, то на частоте среза каждое из звеньев создаёт завал АЧХ на 3 дБ. И у результирующего фильтра на частоте fc коэффициент передачи получается равным К=-6 дБ. Это синяя линия на рис. 16.

Чтобы получить завал АЧХ на частоте среза равный 3 дБ (как принято в теории фильтров), необходимо сместить настройку частоты среза каждого из звеньев. Поправочный коэффициент для N независимых звеньев вычисляется по формуле (в формуле используется знак «умножить» для ФНЧ и знак «разделить» для ФВЧ):

где fn – новая частота среза, для ФВЧ она ниже исходной, поэтому исходная частота среза делится на поправочный коэффициент; для ФНЧ она выше исходной, поэтому исходная частота среза умножается на поправочный коэффициент;

В нашем случае при N=2 исходная частота среза каждого из звеньев фильтра, равная 1 кГц, увеличивается до 1,554 кГц. Результат показан на рис. 16 красной линией. Чёрная линия – приведённая для сравнения АЧХ фильтра 1-го порядка.

LC-фильтры

Главным недостатком RC фильтров частот называют затухание сигнала в резисторе фильтра. Это не совсем верно. Фильтры, работающие с сигналами, обычно очень хорошо согласованы по входу и выходу, поэтому потерь в них практически нет. Реальные потери составляют микроватты, и серьёзно к ним относиться обычно нет смысла. На самом деле главным недостатком пассивных RC фильтров является довольно плавный переход от частоты пропускания к частоте подавления. И тот факт, что фильтр начинает ослаблять сигнал в полосе пропускания далеко от частоты среза.

Многозвенные пассивные RC фильтры также обладают этим недостатком:

из множества плавных изломов АЧХ невозможно сделать один резкий.

Гораздо лучшие результаты даёт использование в схеме фильтра разнородных реактивных элементов: катушек индуктивности совместно с конденсаторами, рис. 17.

Работа LC фильтра в корне отличается от работы RC фильтра: в LC фильтра возникают резонансные явления, которые существенно влияют на форму его АЧХ. Для примера на рис.18 показаны АЧХ фильтров второго порядка RC и LC. Видно, что LC фильтр обладает как более резким переходом от полосы пропускания к полосе подавления, так и большей линейностью АЧХ в полосе пропускания.

Колебательный контур, которым на деле является LC-фильтр, обладает двумя независимыми параметрами, связанными с параметрами составляющих его элементов.

Резонансная частота (при отсутствии активного сопротивления):

Добротность (Q-factor):

Оба этих параметров настраиваются независимо. Например, набор элементов: C=1 мкФ и L=1 мГн дают ту же резонансную частоту, что и набор C=0,1 мкФ и L=10 мГн, но их добротности различаются в десять раз.

Таким образом, при одной и той же частоте среза, регулируя добротность, можно изменять форму АЧХ фильтра.

Важно! Условия согласования LC-фильтра коренным образом отличаются от таковых для RC-фильтра. В LC фильтре сопротивление нагрузки работает совместно с катушкой и конденсатором (задаёт добротность фильтра), поэтому оно должно иметь вполне определённое значение. То есть, условие согласования: Rисточника=0, Rнагрузки=const.

В реальной практике фильтрации сигналов LC-фильтры находят применение только на высоких частотах. На частотах ниже (либо несколько выше) одного мегагерца используются активные фильтры, содержащие только конденсаторы, но имеющие такие же частотные свойства, как и LC-фильтры.

Добротность фильтра – важная его характеристика, которая указывается наравне с частотой среза. Величина добротности определяет передаточную характеристику фильтра. Некоторые примеры АЧХ фильтров второго порядка приведены на рис. 19.

Все фильтры на рис. 19 имеют частоту среза, равную 1 кГц. Но не всегда на частоте среза спад АЧХ равен -3 дБ.

Обратите внимание, что АЧХ фильтра Линквица-Райли полностью совпадает с АЧХ несмещённого двухзвенного RC-фильтра.

В настоящее время все свойства LC-фильтров легко имитируются активными фильтрами, использующими в качестве реактивных элементов только конденсаторы.

«Не именные» фильтры

Амплитудно-частотные характеристики фильтров на рис. 19 показаны в порядке убывания добротности фильтров. Чтобы получить аппроксимацию фильтра по Баттерворту, добротность фильтра должна быть равна Q=0,707. Чтобы получить аппроксимацию фильтра по Бесселю, добротность фильтра должна быть равна Q=0,58.

Возможно ли другое значение добротности фильтра? И если да, то почему такие фильтры нигде не описаны? Какое применение такие фильтры находят?

На самом деле добротность фильтра теоретически может быть любой. На практике не всегда удаётся получить большое значение добротности – мешает разброс параметров элементов фильтра. Фильтр теряет стабильность. А вот «промежуточные» значения добротности, лежащие между добротностями «именных» фильтров, реализовать легко. Только такие фильтры практически не находят применения.

Дело в том, что «именные» фильтры обладают наиболее оптимальной совокупностью параметров. Например, фильтр с добротностью Q=0.65, лежащий между фильтрами Бесселя и Баттерворта имеет ещё недостаточно хорошую АЧХ и уже недостаточно хорошие ФЧХ и переходный процесс. Поэтому, исходя из стратегии применения фильтра, выгоднее всего использовать один из «именных», наиболее подходящих к заданным условиям использования. Он даст наилучшие суммарные результаты по сравнению с «промежуточными» фильтрами.

Фильтры более высоких порядков

Фильтры 1-го и 2-го порядков различаются принципиально: у фильтров 1-го порядка добротность неизменна, а начиная со 2-го порядка добротность фильтра можно регулировать.

Фильтры более высоких порядков принципиально ничем не отличаются от фильтров 2-го порядка: в них также можно регулировать их добротность. И принцип тот же: если добротность фильтра слишком низкая, у него излом АЧХ при переходе от полосы пропускания к полосе заграждения плавный, зато достаточно хорошая фазочастотная характеристика в полосе пропускания (но чем больше порядок фильтра, тем больше фазовый сдвиг) и достаточно хороший переходный процесс. Чем больше добротность фильтра, тем переход от полосы пропускания к полосе подавления более резкий, а вот ФЧХ и переходный процесс ухудшаются. То есть, выигрывая в АЧХ, проигрываем в ФЧХ и временны́х характеристиках. У фильтров, имеющих волны на АЧХ, количество волн обычно равно порядку фильтра.

Подходы к проектированию фильтров

К проектированию фильтров существует несколько подходов, принципиально различающихся межу собой. Причём эти подходы различаются настолько, что специалисты в каком-то одном из них могут быть малокомпетентными в других. Речь идёт главным образом о создании фильтров высоких порядков с заданными свойствами. Разные подходы сформировались скорее всего потому, что каждый из их авторов подходит к созданию фильтров из своей предметной области. К созданию фильтров «шли с разных сторон», поэтому всё получилось очень разным.

Ещё одним стимулом для развития разных подходов к проектированию фильтров послужило бурное развитие микроэлектроники и, в частности, появление операционных усилителей (ОУ), схем на переключаемых конденсаторах и тому подобное.

Рассмотрим некоторые из этих подходов. Каждый из них имеет собственные достоинства и недостатки по сравнению с другими, поэтому рассматривая эти подходы «с точки зрения абсолютной истины» невозможно отдать предпочтение какому-то одному из них.

Синтез на основе каскадной реализации (из фильтров низших порядков)

Синтез и свойства фильтров 1-го и 2-го порядков частично рассмотрен выше. Фильтры более высоких порядков можно реализовать как совокупность нескольких фильтров 2-го порядка и одного фильтра 1-го порядка (если результирующий порядок фильтра должен быть нечётным). То есть требуемый фильтр синтезируется из типовых звеньев. Задача состоит только в том, чтобы правильно выбрать звенья фильтра по типу переходной характеристики и частоте среза (аналогично смещению по частоте RC-фильтра на рис. 16). Ещё одной задачей является выбор схемотехнических решений звеньев фильтра. Например, если в фильтре используется операционный усилитель (ОУ), то этот ОУ может быть включён как в неинвертирующем, так и в инвертирующем включении. От этого зависят некоторые второстепенные, но, тем не менее, важные свойства схемы.

Этот подход привычен, а значит, понятен и комфортен тем, кто рассматривает фильтры так же, как описано в этой статье: исходя из понятий АЧХ, порядка, типа переходной характеристики.

Синтез на основе LC-структур

Основан на том, что для построения фильтра разрабатывается классический LC-фильтр. Причём не как набор звеньев 1-го и/или 2-го порядков, а «целиком». Это делается методами теоретической электротехники, которые к настоящему времени хорошо развиты. После разработки LC-модели фильтра, рассчитывается реализация фильтра на активных RC схемах. Используются конверторы полного сопротивления, «двойные» конденсаторы и т.п.

Синтез на основе передаточной функции

Исходя из требуемых свойств фильтра, синтезируется его передаточная функция – уравнение, полностью описывающее фильтр и все его свойства. Затем, обычно методом переменных состояния (один из методов расчёта цепей в теоретической электротехнике) синтезируется схема, содержащая ряд активных компонентов, охваченных многопетлевой обратной связью. Такие фильтры сложнее схемотехнически и требуют намного более сложных вычислений, но по сравнению с каскадной реализацией для фильтров больших порядков этот метод ведёт к значительно меньшим отклонениям конечного результата.

Фильтры на переключаемых конденсаторах

Эти фильтры хоть и работают с аналоговым сигналом, но являются дискретными, поэтому их работа и вносимые в сигнал изменения описываются теорией дискретного времени. В результате они имеют такие же некоторые особенности, что и цифровые фильтры, но значительно проще и дешевле их.

Фильтр реализуется в специализированной микросхеме. Основа фильтра – конденсатор, который быстро переключается на вход и выход фильтра. Конденсатор заряжается тем входным напряжением, которое было в тот момент времени, когда конденсатор подключался к входу. И разряжается на выходное устройство фильтра.

В таких устройствах тип и порядок фильтра задаются схемотехнически, а частота среза задаётся частотой тактовых импульсов.

Достоинства фильтра – простота реализации (микросхема, включённая по известной схеме), высокий порядок, очень высокая точность и стабильность, простота регулировки.

Недостатки:

• требуется цифровой генератор тактовых импульсов;
• точность и стабильность частоты среза напрямую зависит от точности и стабильности тактового генератора;
• требуется ограничивать спектр сигнала на входе и иногда на выходе «обычным» аналоговым фильтром;
• фильтр верхних частот «пропускает не до бесконечной частоты», а до заданной возможностями микросхемы;
• как и все цифровые фильтры, фильтр на переключаемых конденсаторах является линией задержки, то есть вносит дискретную («настоящую») задержку в выходной сигнал, что не всегда допустимо.

Прямой синтез АЧХ фильтра

Расширение области применения электроники и систем обработки сигналов привело к тому, что фильтры становятся всё более востребованными. Причём фильтр перестаёт быть самоцелью устройства, он превращается в важную, нужную, но малозначительную часть системы.

Поэтому разработчики таких систем могут не являться не только специалистами в области фильтров, они могут быть вообще малокомпетентными в этой области. Тем не менее, им необходимо иметь возможность разрабатывать фильтры с требуемой АЧХ.

Современные средства автоматизированного проектирования предоставляют такую возможность. На сегодняшний день существует множество компьютерных программ для разработки фильтров (как аналоговых, так и цифровых) исходя из заданных требований к АЧХ фильтра. Пример результата такой разработки показан на рис. 20 (только АЧХ).

В качестве исходных данных задаются границы АЧХ фильтра:

• частота среза (1 кГц на рис. 20);
• частота заграждения – максимальная частота, на которой сигнал должен быть ослаблен на заданную величину (3 кГц на рис. 20);
• коридор для полосы пропускания – максимальное отклонение коэффициента передачи от нуля в полосе пропускания (-1 дБ и +1 дБ);
• коэффициент подавления на максимальной частоте (60 дБ, коэффициент передачи равен -60 дБ).

В результате получается принципиальная схема фильтра.

Эта схема может не являться оптимальной и по множеству параметров уступать схемам, разработанным вручную с применением других подходов проектированию, но она рабочая, не требует наличия специальных знаний и разрабатывается на современном компьютере в течение нескольких секунд.

К сожалению, алгоритм разработки схемы фильтра неизвестен, поэтому если схема плохо работает при граничных условиях (например, происходит перегрузка одного из каскадов выбросом АЧХ или переходного процесса в предыдущем каскаде), это также остаётся неизвестным. Также могут быть неизвестными требования к частотным свойствам ОУ, составляющих схему фильтра. Так что желательно такие фильтры использовать в «мягких» условиях по амплитуде и частоте. И попытаться проанализировать полученную принципиальную схему фильтра на возможный выход элементов из штатного режима работы.

Полосовые фильтры

Широкополосные полосовые фильтры с широкой полосой пропускания или подавления (fверхняя >> fнижняя) строятся из пары фильтров ФВЧ+ФНЧ. Каждый из них обеспечивает соответствующую частоту среза и порядок фильтра (порядок может различаться для высокочастотной и низкочастотной частей фильтра). Разница между пропускающим и заграждающим фильтрами заключается в способе соединения фильтров – последовательным или параллельным, и в выборе частот среза ФВЧ и ФНЧ, составляющих фильтр.

Структура полосового пропускающего широкополосного фильтра показана на рис. 21, а его АЧХ – на рис. 22.

В данном примере преднамеренно использованы фильтры второго порядка, имеющие различные виды передаточной характеристики. Просто для того, чтобы показать, что такое возможно. В реальности параметры фильтров верхних и нижних частот, составляющих полосовой фильтр, выбираются из требований к полосовому фильтру.

Структура полосового подавляющего широкополосного фильтра показана на рис. 23, а его АЧХ – на рис. 24.

Обратите внимание, что максимальное подавление сигнала в полосе затухания полосового заграждающего фильтра определяется амплитудно-частотными характеристиками отдельных фильтров, составляющих полосовой фильтр. Чем выше порядок этих фильтров, тем больше величина подавления.

Узкополосные фильтры (fверхняя ненамного больше, чем fнижняя, либо fверхняя ≈ fнижняя) строятся на основе резонансных и квазирезонансных схем. Для таких фильтров понятие порядка фильтра обычно неприменимо, а качество фильтрации оценивается параметрами резонансных схем, главным образом добротностью (как и резонансный контур).

У меня есть программы для расчёта активных фильтров:

Фильтры второго порядка различных типов

Фильт третьего порядка с аппроксимацией по Баттерворту

Фильтр Баттерворта 3-го порядка используется в кроссовере, разделяющем сигнал на две частотные полосы для воспроизведения разными громкоговорителями. Например НЧ/СЧ и ВЧ громкоговорителями. Этот фильтр интересен тем, что он имеет наиболее плоскую АЧХ в полосе пропускания, резкий переход к полосе подавления, большую скорость спада АЧХ — эффективно подавлает мешающие частоты. И главное — пара фильтров Баттерворта (ФВЧ+ФНЧ) даёт ровную суммарную АЧХ. На мой взгляд (а я первоначально разработал этот кроссовер именно для себя) он эффективнее фильтра Линквица-Райли, так как сильнее подавляет сигналы «мешающих» частот, которые плохо воспроизводятся громкоговорителями, и могут «испортить звук». За это говорит и тот факт, что работа этого кроссовера нравится не только мне, но и другим людям.

25.12.2025